Un ejemplo de argumentación matemática: la irracionalidad de raíz de 2

Obsérvese la siguiente demostración clásica de la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2:

Supongamos que raíz de 2 es racional. Es decir, que existen dos enteros p y q, con q no nulo y coprimos (máximo común divisor 1), tales que:

Luego, y operando dicha expresión obtenemos:

Eso implica que p² es múltiplo de 2. Por tanto, p también es múltiplo de 2. Es decir, existe un entero k tal que p = 2·k.

Si substituimos este valor de p en la expresión anterior y simplificamos obtenemos:

2q² = (2k)²   =>   2q² = 4k²   =>  q² = 2k²

Eso implica que q² es múltiplo de 2. Por tanto, q también es múltiplo de 2.

Hemos obtenido por una parte que p es múltiplo de 2 y por otra que q es múltiplo de 2, pero eso contradice el hecho de que p y q son coprimos.

Dicha contradicción proviene de suponer que raíz de 2 es racional.

Luego la raíz cuadrada de 2 es irracional.

Analizando dicha argumentación utilizando el modelo de Toulmin:

Supongamos que raíz de 2 es racional (D1). Es decir, que existen dos enteros p y q, con q no nulo y coprimos (máximo común divisor 1), tales que:

(CD2)

Luego, y operando dicha expresión obtenemos:

(CD7) (CD9)

Eso implica que p² es múltiplo de 2 (CD11). Por tanto, p también es múltiplo de 2 (CD13). Es decir, existe un entero k tal que p = 2·k (CD15).

Si substituimos este valor de p en la expresión anterior y simplificamos obtenemos:

2q² = (2k)² (CD17)  =>   2q² = 4k² (CD20)  =>  q² = 2k² (CD22)

Eso implica que q² es múltiplo de 2 (CD25). Por tanto, q también es múltiplo de 2 (CD 27).

Hemos obtenido por una parte que p es múltiplo de 2 y por otra que q es múltiplo de 2 (CD29), pero eso contradice el hecho de que p y q son coprimos (CD2).

Dicha contradicción (CD32) proviene de suponer que raíz de 2 es racional.

Luego la raíz cuadrada de 2 es irracional (C35).

Véase cómo queda el esquema de dicha argumentación compleja utilizando DeMMaTTouL:

 Descargar el fichero: ejemploRaiz2Irracional.dmt