Un ejemplo de argumentación matemática: la irracionalidad de raíz de 2

Obsérvese la siguiente demostración clásica de la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2:

Supongamos que raíz de 2 es racional. Es decir, que existen dos enteros p y q, con q no nulo y coprimos (máximo común divisor 1), tales que:

Luego, y operando dicha expresión obtenemos:

Eso implica que p² es múltiplo de 2. Por tanto, p también es múltiplo de 2. Es decir, existe un entero k tal que p = 2·k.

Si substituimos este valor de p en la expresión anterior y simplificamos obtenemos:

2q² = (2k)²   =>   2q² = 4k²   =>  q² = 2k²

Eso implica que q² es múltiplo de 2. Por tanto, q también es múltiplo de 2.

Hemos obtenido por una parte que p es múltiplo de 2 y por otra que q es múltiplo de 2, pero eso contradice el hecho de que p y q son coprimos.

Dicha contradicción proviene de suponer que raíz de 2 es racional.

Luego la raíz cuadrada de 2 es irracional.

Analizando dicha argumentación utilizando el modelo de Toulmin:

Supongamos que raíz de 2 es racional (D1). Es decir, que existen dos enteros p y q, con q no nulo y coprimos (máximo común divisor 1), tales que:

(CD2)

Luego, y operando dicha expresión obtenemos:

(CD7) (CD9)

Eso implica que p² es múltiplo de 2 (CD11). Por tanto, p también es múltiplo de 2 (CD13). Es decir, existe un entero k tal que p = 2·k (CD15).

Si substituimos este valor de p en la expresión anterior y simplificamos obtenemos:

2q² = (2k)² (CD17)  =>   2q² = 4k² (CD20)  =>  q² = 2k² (CD22)

Eso implica que q² es múltiplo de 2 (CD25). Por tanto, q también es múltiplo de 2 (CD 27).

Hemos obtenido por una parte que p es múltiplo de 2 y por otra que q es múltiplo de 2 (CD29), pero eso contradice el hecho de que p y q son coprimos (CD2).

Dicha contradicción (CD32) proviene de suponer que raíz de 2 es racional.

Luego la raíz cuadrada de 2 es irracional (C35).

Véase cómo queda el esquema de dicha argumentación compleja utilizando DeMMaTTouL:

 Descargar el fichero: ejemploRaiz2Irracional.dmt

Un ejemplo de argumento no matemático

En esta entrada se muestra cómo queda el resultado en DeMMaTTouL al construir el esquema de una argumentación simple en un contexto no matemático.

Argumentación:

Si creo que una película me gustará, entonces, salvo contadas ocasiones en las que la impaciencia me gana, no veo ningún trailer de la película porque no me gusta que me cuenten la película antes de verla. Muchos trailers de películas desvelan parte de la trama.

Si se analiza dicha argumentación utilizando el modelo de Toulmin obtenemos:

Si creo que una película me gustará, entonces, salvo contadas ocasiones en las que la impaciencia me gana, no veo ningún trailer de la película porque no me gusta que me cuenten la película antes de verla. Muchos trailers de películas desvelan parte de la trama.

D: creo que una película me gustará 

W: no me gusta que me cuenten la película antes de verla

B: Muchos trailers de películas desvelan parte de la trama

C: no veo ningún trailer de la película

Q: salvo contadas ocasiones

R: la impaciencia me gana 

Al pasarlo a DeMMaTTouL el esquema queda de la siguiente manera:

Descargar fichero: ejemploPelicula.dmt